Behörighetskrav

Flervariabelanalys eller Geometri och analys III.

Mål

Efter godkänd kurs ska studenten kunna

• redogöra för grunderna för variationskalkyl och för dess tillämpningar inom matematik och fysik;
• beskriva brakistokronproblemet på matematisk form och lösa det;
• lösa isoperimetriska typproblem;
• lösa enklare begynnelse- och randvärdesproblem genom att använda flerdimensionell analys;
• formulera maximumprinciper för olika ekvationer och härleda konsekvenser;
• formulera viktigare resultat och satser inom kursens område;
• använda kursens teori, metoder och tekniker för problemlösning;
• presentera matematiska resonemang för andra.

Innehåll

Variationskalkylen handlar om max/min-problem där variabeln inte är ändligtdimensionell utan istället utgörs av funktioner. Kursen behandlar variationskalkylens grunder och ger exempel på några (klassiska och moderna) tillämpningar inom fysik och ingenjörsvetenskap.

Euler–Lagrangeekvationen. Brakistokronen. Minimala rotationsytor. Isoperimetriska problem. Fermats princip (geometrisk optik). Hamiltons princip (partikeldynamik), Lagranges och Hamiltons rörelseekvationer, Hamilton–Jacobiekvationen, minsta verkans princip. Euler–Lagrangeekvationen för flera oberoende variabler. Minimalytor. Svängande strängar och membran, egenfunktionsutvecklingar. Kvantmekanik: Schrödingerekvationen. Noethers sats. Ritzoptimering. Maximumprincipen samt tillämpningar.

Undervisning

Föreläsningar och räkneövningar.

Examination

Skriftligt prov vid kursens slut kombinerat med inlämningsuppgifter under kursen enligt anvisningar som lämnas vid kursens start.