Ny Metodik för Paraboliska Randvärdesproblem

Tidsperiod:

1 januari 2018 – 31 december 2021

Projektledare:

Kaj Nyström

Finansiär:

Vetenskapsrådet

Bidragstyp:

Projektbidrag

Budget:

3 275 000 SEK

Ekvationer och system av paraboliska partiella differentialekvationer är oumbärliga modeller och verktyg i matematik, fysik, kemi, biologi, finans och i flertalet ingenjörsvetenskaper. Denna typ av modeller används i modellering av dynamiska och potentiellt slumpmässiga fenomen. Den enklaste modellen är värmeledningsekvationen som beskriver temperaturen i en homogen kropp, som en funktion av rum och tid, givet en temperaturfördelning på kroppens yta. Mer involverade modeller används för att modellera hastighetsfält i vätskor. System av paraboliska partiella differentialekvationer används för att modellera kemiska reaktioner och i modeller för bakteriers och cellers interaktioner och rörelser.  Det finns ett tydligt samband mellan ekvationer av paraboliska partiella differentialekvationer, slumpmässiga fenomen och stokastiska processer. Detta samband fångas bland annat genom den stokastiska kalkylen för stokastiska differentialekvationer och av det faktum att densiteten för normalfördelade slumpvariabler kan användas för att representera lösningar till värmeledningsekvationen.  På grund av det tydliga samband med slumpmässiga fenomen så är modeller baserade på ekvationer av paraboliska partiella differentialekvationer mycket viktiga i en mängd tillämpningar inom finans, kontrollteori och datadriven modellering.Det övergripande målet med detta projekt är att öka vår förståelse och kunskap om hur man kan lösa ekvationer och system av paraboliska partiella differentialekvationer, givet modesta antaganden på ekvationernas och systemens koefficienter och i icke glatta geometrier, genom att utveckla och exploatera en ny metodik för paraboliska randvärdesproblem. Denna nya metodik innebär att andra ordningens ekvationer och system betraktas genom system av först ordningens differentialekvationer.  De senare löses sedan med funktionskalkyl och operatorteoretiska metoder och som resultat härleds representationsformler för lösningen som, vid en rent formell betraktelse, har likhet med de representationsformler baserade på metoden med integrerade faktor som används vid lösningar av ordinära differentialekvationer av första ordningen. Den matematiska analysen för att göra detta stringent är ett av projektets kärnor. Ambitionen är vidare att utveckla den nya metodiken och teknologin för att lösa randvärdesproblem för ekvationer och system av paraboliska partiella differentialekvationer givet data i olika klasser av funktionsrum, i olika geometrier  och att utveckla och använda först ordningens formalism även för ekvationer och system av degenerade paraboliska partiella differentialekvationer, i homogenisering, för högre ordningens ekvationer och system,  samt för ekvationer och system av icke-lokala paraboliska partiella differentialekvationer.