Etableringsbidrag möjliggör forskning på slumpgrafer

23 december 2022

Kvinna framför skrivtavla med grafer och matematiska modeller.

Annika Heckel forskar på slumpgrafer som bland annat används för att kartlägga tänkbara intressekonflikter.

När årets bidragsbeslut kom från Vetenskapsrådet stod matematikern Annika Heckel med på mottagarlistan. Det fyraåriga etableringsbidraget kommer att ge henne mer tid till forskning på slumpgrafer. "Jag forskar inom teoretisk matematik. Men teorin om slumpgrafer är aldrig långt ifrån möjliga tillämpningar av stora och oordnade nätverk i vårt dagliga liv, som internet och sociala nätverk till modeller för spridning av sjukdomar."

I 2022 års VR-utlysning visade sig Annika Heckel vid Matematiska institutionen vara en av 46 bidragsmottagare vid teknisk-naturvetenskapliga fakulteten. Under fyra år kommer hon att få totalt 4 miljoner kronor för forskningsprojektet Koncentration kontra spridning - verktyg, nedre gränser och tillämpningar. Ämnet tillhör sannolikhetslära och kombinatorik, en gren som studerar på hur många sätt något kan göras och kombineras.

Annika Heckels VR-projekt handlar om slumpgrafer som hon och kollegorna vanligtvis studerar med hjälp av ekvationer och formler. För att illustrera tar hon fram en färgpenna och målar några utspridda prickar på skrivtavlan.

– En graf är i princip ett nätverk som vi åstadkommer genom att dra linjer mellan vissa av de här prickarna eller noderna. Det är något vi gör slumpmässigt.

Avslöjar mönster

Vad forskarna strävar efter är att efterlikna verklighetens oordnade nätverk som gatunät, datornätverk eller kopplingar mellan olika tjänster. Efter många upprepningar av slumpmässiga förbindelser och länkar mellan noderna uppstår ett mönster: en regel om slumpmässighet.

– Ett viktigt fenomen som har observerats i slumpmässiga grafer, liksom i många andra grenar av sannolikhetsteorin, är koncentration. Detta innebär att även om en grafstatistik i princip kan anta många olika värden, så kommer den i en slumpmässig graf nästan alltid anta ett av endast ett fåtal värden som ligger nära varandra, säger Annika Heckel.

– Att studera koncentration hjälper mig att förstå hur "slumpmässigt" en grafparameter beter sig och hur exakta modellförutsägelser baserade på tidigare erfarenheter verkligen är. 

Konflikter beskrivs med kromatiska tal

Ett annat mål i projektet är att förstå beteendet hos det så kallade kromatiska talet för slumpgrafer. Detta innebär att noderna i grafen eller nätverket är färgade på så sätt att två noder som är anslutna till varandra med en linje inte får ha samma färg. Det kromatiska talet är alltså det minsta antal färger som behövs för att färga ett nätverk eller en graf på detta sätt.

Det har enligt Annika Heckel många praktiska tillämpningar inom schemaläggning och resursfördelning.

– Ta exempelvis en dator och dess olika delar. De behöver ta av samma resurser, men kan inte använda dem samtidigt. Då behöver man beräkna antalet tidsutrymmen som behövs för att datorns olika användningsområden inte ska hamna i konflikt med varandra.

Det kan också handla om människor som behöver använda sig av samma tillgångar.

– Då krävs det ett schema för hur folk turas om och använder resurserna. Inom ett sådant här konfliktnätverk behövs ett minimumantal tidsutrymmen, vilket är lika med det kromatiska talet.
 

Sina idéer får Annika Heckel från att läsa vetenskapliga artiklar, gå på seminarier eller prata med kollegor. För att omvandla idén till något konkret skriver hon sedan ner den på antingen papper eller skrivtavla, oftast i form av ekvationer. Foto: Anneli Björkman

Fokus på teorin bakom sannolikhet

I samhället råder stor efterfrågan på matematiska modeller baserade på slump- och sannolikhetsanalyser. Inte minst inom branscher som specialiserat sig på riskprognoser, som börsföretag, energibolag och försäkringsfirmor.

Men att besvara verklighetsanknutna frågor är inte Annika Heckels fokus. Hennes mål är att utveckla matematiska metoder inom sannolikhetsteorin och i projektet även koppla metoderna till fysik och datavetenskap.

– När du stöter på ett bevis som verkligen ger en inblick i varför en sats gäller är det en oerhört tillfredsställande känsla. Oavsett om du gör upptäckten själv eller genom att läsa någon annans bevis. Roligast är det om det är en fråga som du har ägnat mycket tid åt att tänka på och lösningen är kort och enkel, även om det naturligtvis inte är lätt att komma på den.

 

Prenumerera på Uppsala universitets nyhetsbrev




Senast uppdaterad: 2022-12-22