Behörighetskrav

120 hp samt Matematik 90 hp. Engelska 6. (Med en svensk kandidatexamen uppfylls kravet på engelska.)

Mål

Syftet med kursen är att befästa och generalisera resultat som studenten redan stiftat bekantskap med i tidigare analyskurser, att förse henne eller honom med ett adekvat språk för högre studier i matematik och att utveckla hennes eller hans skicklighet att arbeta med abstrakta begrepp vars betydelse definieras av olika uppsättningar av axiom. Det är viktigt att studenten lär sig att tillämpa de allmänna begrepp och resultat som presenteras i kursen på konkreta matematiska objekt.

Efter godkänd kurs ska studenten kunna:

• behärska de olika begrepp för topologiska och metriska rum som introduceras i kursen, kunna redogöra för deras definitioner och tillämpa dem i konkreta situationer - till de allra viktigaste av dessa begrepp hör: öppna och slutna mängder, tillslutning, det inre, randen, täta mängder, standardtopologin för ett metriskt rum, topologin i euklidiska rum, topologiskt delrum, kontinuerliga avbildningar, homeomorfismer, sammanhang, kompakthet, separabilitet, homotopi, homotopi av kurvor och fundamentalgruppen;
• redogöra för de olika mängdteoretiska och topologiska konstruktionerna, såsom produktbildning och faktorisering av topologiska rum;
• redogöra för olika topologiska egenskapers beteenden under kontinuerliga avbildningar och under produktbildning.

Innehåll

Topologiska rum: grundläggande definitioner, delrum. Metriska rum: metrisk topologi, metriserbarhet. Kontinuerliga avbildningar. Homeomorfier. Topologiska inbäddningar.

Sammanhang och bågvis sammanhang. Separationsaxiom. Första och andra uppräknelighetsaxiomet. Kompakthet. Sekventiell kompakthet. Produkter av topologiska rum. Kvottopologin. Ihopklistring av topologiska rum. Reella och komplexa projektiva rum.

Homotopi, homotopi av kurvor, fundamentalgruppen, övertäckningsrum.

Undervisning

Föreläsningar och räkneövningar

Examination

Skriftligt prov vid kursens slut kombinerat med inlämningsuppgifter under kursen enligt anvisningar som lämnas vid kursens start.

Om särskilda skäl finns får examinator göra undantag från det angivna examinationssättet och medge att en enskild student examineras på annat sätt. Särskilda skäl kan t.ex. vara besked om särskilt pedagogiskt stöd från universitetets samordnare för studenter med funktionsnedsättning.