Kursplan för Komplex analys

Mål

Efter godkänd kurs ska studenten kunna:

• redogöra för begreppen analytisk funktion och harmonisk funktion samt för betydelsen av Cauchy-Riemanns ekvationer;
• redogöra för begreppet konform avbildning och dess samband med analytiska funktioner, samt känna till de elementära funktionernas avbildningsegenskaper;
• redogöra för Möbiusavbildningar och deras avbildningsegenskaper samt kunna använda dem för konforma avbildningar;
• redogöra för definitionen av samt beräkna komplexa konturintegraler;
• redogöra för samt använda Cauchys integralsats och integralformler samt några av dessas konsekvenser;
• analysera enkla funktionsföljder och funktionsserier med avseende på likformig konvergens, kunna redogöra för potensseriers konvergensegenskaper samt kunna utveckla analytiska funktioner i Taylor- eller Laurentserier i ett givet område;
• redogöra för grundläggande egenskaper hos analytiska funktioners singulariteter, kunna bestämma nollställen och polers ordning samt beräkna residuer och använda residueteknik för beräkning av integraler;
• bestämma antalet rötter till enkla ekvationer i ett givet område;
• formulera viktigare resultat och satser inom kursens område och kunna beskriva huvuddragen i viktigare satsers bevis;
• använda kursens teori, metoder och tekniker för att lösa matematiska problem;
• presentera matematiska resonemang för andra.

Innehåll

Komplexa tal, topologi i C. Funktioner av en komplex variabel, gränsvärde, kontinuitet och deriverbarhet. Cauchy-Riemanns ekvationer med konsekvenser. Analytiska och harmoniska funktioner. Konform avbildning. Elementära funktioner från C till C och avbildningsegenskaper, speciellt Möbiusavbildningar och exponentialfunktionen. Lösning av randvärdesproblem i planet för Laplaces ekvation med hjälp av konforma avbildningar. Komplex integration, Cauchys integralsats och integralformel med konsekvenser. Maximumprincipen för analytiska och harmoniska funktioner. Konjugerat harmoniska funktioner. Poissons integralformel. Likformig konvergens och analyticitet. Potensserier. Taylor- och Laurentserier med tillämpningar. Nollställen och isolerade singulariteter. Residukalkyl med tillämpningar. Argumentprincipen och Rouchés sats. Orientering om sammanhang med Fourierserier och Fourierintegraler.

Undervisning

Föreläsningar och räkneövningar. Inlämningsuppgifter.

Examination

Skriftligt prov vid kursens slut.

Om särskilda skäl finns får examinator göra undantag från det angivna examinationssättet och medge att en enskild student examineras på annat sätt. Särskilda skäl kan t.ex. vara besked om särskilt pedagogiskt stöd från universitetets samordnare för studenter med funktionsnedsättning.

Övriga föreskrifter

Kursen kan inte ingå i samma examen som kursen Komplex analys, allmän kurs.