Kursplan för Partiella differentialekvationer, introduktionskurs

Mål

Efter godkänd kurs ska studenten kunna:

• beskriva de vanligaste partiella differentialekvationerna som uppträder då man studerar problem rörande t.ex. värmeledning, strömning, elasticitet och vågutbredning;
• redogöra för grundläggande frågor rörande existens och entydighet av lösningar, och kontinuerligt beroende av begynnelse- och randvärden;
• lösa enklare första ordningen ekvationer genom metoden med karakteristikor;
• klassificera andra ordningens ekvationer;
• lösa enklare begynnelse- och randvärdesproblem genom att använda exempelvis d'Alemberts lösningsformel, variabelseparation och utveckling i Fourierserier eller andra ortogonalsystem;
• i matematisk form beskriva, beräkna och analysera vågutbredning och värmeledning;
• formulera maximumprinciper för olika ekvationer och härleda konsekvenser.

Innehåll

Introduktion av några vanligt förekommande partiella differentialekvationer, fysikalisk bakgrund och härledning utifrån fysikaliska principer.

Första ordningens partiella differentialekvationer: karakteristikor, linjära, kvasilinjära och allmänna olinjära ekvationer.

Klassificering av andra ordningens partiella differentialekvationer i två variabler.

Endimensionella vågekvationen, Cauchys problem, d'Alemberts formel, icke-homogena vågekvationen.

Separation av variabler, värmelednings- och vågekvationen. Energimetoden, entydighet.

Sturm-Liouvilleproblem och egenfunktionsutveckling.

Elliptiska ekvationer. Dirichlets problem, harmoniska funktioner, maximumprincipen. Poissons formel.

Greenfunktioner och integralrepresentation. Värmeledningskärnan.

Partiella differentialekvationer i högre dimensioner.

Undervisning

Föreläsningar och räkneövningar.

Examination

Muntligt prov vid kursens slut kombinerat med inlämningsuppgifter under kursen.

Om särskilda skäl finns får examinator göra undantag från det angivna examinationssättet och medge att en enskild student examineras på annat sätt. Särskilda skäl kan t.ex. vara besked om särskilt pedagogiskt stöd från universitetets samordnare för studenter med funktionsnedsättning.