Behörighetskrav

120 hp inklusive Algebraiska strukturer

Mål

För godkänt betyg på kursen skall studenten

• kunna definiera begreppen algebraiskt tal, algebraiskt heltal, Dedekindring, brutet ideal, idealklass, idealklassgrupp, reguljärt primtal, irreguljärt primtal, norm, spår, diskriminant, förgreningsindex, restklassgrad; kunna återge fundamentalsatsen för Dedekindringar;
• i enkla fall kunna beräkna normen och spåret hos ett algebraiskt tal;
• kunna förklara huruvida idealklasstalet återspeglar heltalsringens avvikelse från att vara faktoriell;
• kunna återge Kummers lemma;
• i stora drag kunna redogöra för Kummers bevis av Fermats stora sats för reguljärt prima exponenter;
• kunna återge formeln som sammanlänkar förgreningsindexen och restklassgraderna hos ett primideal med avseende på en utvidgning av algebraiska talkroppar;
• kunna återge Minkowskis sats;
• kunna bevisa satsen om fyra kvadrater med hjälp av Minkowskis sats;
• i enkla fall kunna tillämpa Minkowskis gräns för beräkningen av idealklasstalet;
• kunna förklara vad som menas med "talens geometri" enligt Minkowski.

Innehåll

Innehåll: Heltal i kommutativa ringutvidgningar. Dedekindringar, deras idealteori och idealklassgrupp. Kvadratiska talkroppar. Cyklotomiska kroppar och cyklotomiska heltal. Reguljära och irreguljära primtal. Kummers Lemma. Kummers bevis av Fermats stora sats för reguljära prima exponenter. Norm och spår av ett algebraiskt tal. Diskriminanten hos en algebraisk talkropp. Gitter i Rⁿ och deras kvottorus. Minkowskis sats. Satsen om fyra kvadrater. Minkowskis gräns. Förgreningsindex och restklassgrad av ett primideal med avseende på en algebraisk kroppsutvidgning.

Undervisning

Föreläsningar.

Examination

Skriftligt prov vid kursens slut, eventuellt kombinerat med inlämningsuppgifter under kursen och/eller muntligt prov vid kursens slut, enligt anvisningar som lämnas vid kursens start.