Behörighetskrav

120 hp inklusive 90 hp matematik. Reell analys rekommenderas.

Mål

Efter godkänd kurs ska studenten kunna

• redogöra för centrala egenskaper hos lösningar till Laplaces ekvation, värmeledningsekvationen och vågekvationer;
• lösa icke-linjära ekvationer av första ordningen med metoden med karakteristiska kurvor;
• redogöra för Sobolevrum, centrala egenskaper hos Sobolevfunktioner som approximationssatser och utvidgnings- och spårsatser, Sobolevs olikheter och satser om kompakthet;
• redogöra för existens- och entydighetssatser av svaga lösningar till andra ordningens elliptiska ekvationer;
• redogöra för regularitetsteori, maximumprinciper och egenvärden/egenfunktioner för ordningens elliptiska ekvationer;
• redogöra för teorin för andra ordningens paraboliska och hyperboliska ekvationer;
• förklara och använda variationskalkyl och i synnerhet existens av minimerare samt regularitetsteori;
• använda begreppet viskositetslösning;
• redogöra för kontrollteori och dynamisk programmering.

Innehåll

Laplace-ekvation. Värmeledningsekvation. Vågekvationen. Icke-linjära ekvationer av första ordningen. Metoden med karakteristiska kurvor. Några metoder för att konstruera explicita lösningar. Sobolevrum och approximationssatser för Sobolevfunktioner. Utvidgnings- och spårsatser. Sobolevs olikheter och satser om kompakthet. Existens och entydighet av svaga lösningar till andra ordningens elliptiska ekvationer. Regularitetsteori, maximumprinciper och egenvärden/egenfunktioner för andra ordningens elliptiska ekvationer. Andra ordningens paraboliska ekvationer.

Andra ordningens hyperboliska ekvationer. Variationskalkyl. Existens av minimerare. Regularitetsteori. Viskositetslösningar. Existens och entydighet av viskositetslösningar. Kontrollteori. Dynamisk programmering.

Undervisning

Föreläsningar och räkneövningar.

Examination

Skriftligt prov vid kursens slut.

Övriga föreskrifter

Kursen kan inte tillgodoräknas i examen tillsammans med Partiella differentialekvationer, introduktionskurs, Partiella differentialekvationer, fortsättningskurs eller motsvarande.