Kursplan för Geometri och analys I

Mål

Efter godkänd kurs skall studenten kunna

• redogöra för grundläggande begrepp inom analytisk geometri
• använda sådana begrepp vid geometrisk problemlösning
• uppvisa grundläggande algebraisk räknefärdighet avseende belopp, olikheter och elementära funktioner
• redogöra för grundläggande begrepp och satser inom differential- och integralkalkyl för funktioner av en variabel
• uppvisa grundläggande räknefärdighet avseende begreppen i föregående punkt, såsom att kunna derivera, integrera och Taylorutveckla elementära funktioner
• tillämpa sådan räknefärdighet vid problemlösning, såsom grafritning, optimering och volymsberäkning
• lösa de typer av ordinära differentialekvationer som ingår i kursen

Innehåll

Matematikens språk: Mängder och funktioner.

Analytisk geometri: Kartesiska och polära koordinater. Andragradskurvor. Vektorer i planet och rummet. Skalärprodukt. Vektorprodukt. Trippelprodukt. Linjer och plan. Skärningar och avstånd. Linjära ekvationssystem.

Belopp, olikheter, intervall. Elementära funktioner: Polynom och faktorsatsen, rationella funktioner, potensfunktioner, exponential- och logaritmfunktioner samt trigonometriska funktioner och deras inverser. Vektorvärda funktioner av en variabel. Parametriserade kurvor.

Differentialkalkyl: Gränsvärde, kontinuitet och derivata (av såväl skalär- som vektorvärda funktioner av en variabel). Standardgränsvärden. Deriveringsregler (produkt-, kvot- och kedjeregeln). De elementära funktionernas derivator. Derivata av invers funktion. Medelvärdessatsen. Implicit derivering. Taylorutveckling och feluppskattning. L'Hôpitals regel. Extremvärden. Konvexitet. Asymptoter och kurvritning.

Integralkalkyl: Obestämd och bestämd integral. Variabelbyte. Partiell integration. Partialbråksuppdelning och integraler av rationella funktioner. Generaliserade integraler. Beräkning av areor, volymer och båglängder. Orientering om vektorfält och kurvintegraler.

Ordinära differentialekvationer: Separabla och linjära ekvationer av första ordningen. Andra ordningens linjära ekvationer med konstanta koefficienter.

Undervisning

Lektionsundervisning i stora och små grupper.

Examination

Obligatorisk uppgift (3 hp) under kursens första halva och skriftlig tentamen (7 hp) vid kursens slut.

Övriga föreskrifter

Kursen kan inte tillgodoräknas i examen tillsammans med Envariabelanalys, Linjär algebra och geometri I, Algebra och geometri eller Baskurs i matematik.