Kursplan för Flervariabelanalys

Mål

För godkänt betyg på kursen ska studenten kunna

• redogöra för begreppen gränsvärde, kontinuitet, partiell derivata, gradient och differentierbarhet för funktioner av flera variabler;


• parametrisera kurvor och ytor;


• beräkna partiella derivator till elementära funktioner;


• använda sig av partiella derivator för att beräkna lokala och globala extremvärden - med eller utan bivillkor;


• redogöra för multipelintegralens definition, beräkna multipelintegraler samt använda sig av multipelintegraler för att beräkna volymer, tyngdpunkter, m.m.;


• redogöra för begreppen kurv- och ytintegral samt kunna beräkna sådana integraler;


• använda sig av Greens, Stokes och Gauss satser;


• redogöra för satser om existens och entydighet av lösningar till ordinära differentialekvationer, lösa enkla exakta ekvationer och enkla linjära system av ODE;


• exemplifiera och tolka viktiga begrepp i konkreta situationer;


• formulera viktigare resultat och satser inom kursens område;


• översätta problem från relevanta tillämpningsområden till för matematisk behandling lämplig form;


• använda kursens teori, metoder och tekniker för att lösa problem inom kursens område;


• presentera matematiska resonemang för andra.

Innehåll

Polära, cylindriska och sfäriska koordinater. Parameterframställning av kurvor och ytor. Nivåkurvor och nivåytor. Båglängd. Skalära och vektorvärda funktioner av flera variabler. Partiella derivator, differentierbarhet, gradient, riktningsderivata, differential. Derivator av högre ordning. Kedjeregeln. Jakobianen. Taylors formel. Implicita funktioner. Optimeringsproblem: lokala och globala problem, problem med bivillkor i form av likheter. Multipelintegraler, variabelbyte, generaliserade integraler, tillämpningar på volymberäkning, tyngdpunktsbestämning, m.m. Kurv- och ytintegraler för skalära och vektorvärda funktioner. Divergens och rotation av vektorfält. Identiteter för grad, div och rot. Greens, Stokes och Gauss satser. System av ordinära differentialekvationer. Exakta ekvationer. Linjära system, exponentialmatrisen. Andra ordningens ekvationer, variation av parametrar.

Undervisning

Föreläsningar, lektioner och räkneövningar.

Examination

Antingen ett skriftligt prov vid kursens slut eller två skriftliga delprov om vardera 5 högskolepoäng. Provet/proven kan kombineras med inlämningsuppgifter under kursen enligt anvisningar som lämnas vid kursens start.

Övriga föreskrifter

Kursen kan inte tillgodoräknas i examen tillsammans med kursen Flervariabelanalys, allmän kurs.