Behörighetskrav

120 högskolepoäng samt Partiella differentialekvationer, introduktionskurs, och Funktionalanalys I

Mål

Kursen avser att vidareutveckla teorin för hyperboliska, paraboliska och elliptiska partiella differentialekvationer i anslutning till fysikaliska, tekniska och naturvetenskapliga problem. Huvudteman är välställdhet för olika begynnelse- och randvärdesproblem samt egenskaper hos lösningar till vågekvationen, värmeledningsekvationen och Laplace-ekvationen. Funktionalanalys används för att visa existens av svaga lösningar samt för att studera regularitet hos lösningar. Viktiga tillämpningsområden är numerisk behandling av partiella differentialekvationer, optimeringsteori, reglerteknik, signalbehandling, bildanalys, mekanik och hållfasthetslära samt kvantmekanik.

För godkänt betyg på kursen skall studenten

kunna använda geometriska metoder;

kunna använda Kirchhoffs lösning och Huygens princip för vågekvationen i en och flera rumsvariabler;

känna till och kunna använda fundamentallösningar och Greensfunktioner för olika typer av ekvationer;

känna till Perron–Wieners metod;

kunna använda maximumprincipen för elliptiska PDE;

känna till distributioner, Sobolevrum och inbäddningssatser;

känna till variationsformuleringer av elliptiska problem och existenssatser för generella problem; Lax–Milgrams sats, energiuppskattningar, Fredholmalternativ, Poincarés olikhet, feluppskattningar (FEM);

känna till existenssatser för generella paraboliska och hyperboliska PDE:er och relaterade numeriska lösningsmetoder såsom Galerkins metod;

ha genomfört ett mindre projekt inom något tillämpningsområde (t.ex. som förberedelse för kommande examensarbete).

Innehåll

Karakteristikor. Symboler för partiella differentialoperatorer. Maximumprincipen. Sobolevrum. Linjära elliptiska ekvationer. Energimetoder för Cauchyproblem för paraboliska och hyperboliska ekvationer. Fredholmteori och egenfunktionsutvecklingar. Potentialteori.

Undervisning

Föreläsningar och räkneövningar.

Examination

Skriftligt och eventuellt muntligt prov vid kursens slut eventuellt kombinerat med inlämningsuppgifter under kursen enligt anvisningar som lämnas vid kursens start.

Litteraturlista

• Litteraturlista giltig från och med höstterminen 2013
• Litteraturlista giltig från och med höstterminen 2008, version 2
• Litteraturlista giltig från och med höstterminen 2008, version 1
• Litteraturlista giltig från och med höstterminen 2007