Behörighetskrav

Ordinära differentialekvationer I eller motsvarande

Mål

Kursens syfte är att ge insikter om och exempel på hur dynamiska systemmodeller (dvs. differential- och differensekvationer) kan användas för att bättre förstå vissa fenomen inom biologi, fysik, biokemi, ekonomi och sociologi. Fokus ligger på modellformulering, på analys av modeller med utgångspunkt från numeriska lösningar och på att dra slutsatser baserade på utfallen.

För godkänt betyg på kursen skall studenten kunna

• formulera viktigare modeller som behandlas i kursen;
• använda grundläggande metoder inom matematisk analys av system av icke-linjära ordinära differentialekvationer och partiella differentialekvationer;
• dra slutsatser från en modell;
• använda datorprogram för att undersöka modeller numeriskt;
• lösa standardproblem inom områden som behandlas under kursen.

Innehåll

En inledande genomgång av den teoretiska bakgrunden till differential- och differensekvationer följs av en serie fallstudier. I varje fall ligger tonvikten både på hur man bygger modeller av olika tillämpningar, matematisk analys av dessa och hur numeriska lösningar ökar förståelsen av modellerna.

Minst tre av följande fallstudier väljs. Studier och lösningar av dessa tre fall involverar en kombination av matematisk analys och numerisk lösning med hjälp av MATLAB.

• Molekyl och cellbiologi. Icke-dimensionalisering; Michaelis-Mentens kinetik; matchade asymptotiska expansioner; modeller av neurala signaler; oscillationer i biokemiska system (Britton 6.1-6.4; Strogatz 8.3).
• Kopplade oscillatorer. Flöden på cirkeln; drivna och kopplade pendlar; globala bifurkationer; blinkningar hos bananflugan; Kuramotos modell (Strogatz 4.5-4.6 och 8.4-8.7).
• Biologisk rörelse. Introduktion till partiella differentialekvationer; diffusionsekvationer; Fishers ekvation; travelling wave solutions; reaktions/diffusionsekvationer (Britton 5.1-5.5).
• Kaos. Populationsdynamik och endimensionella avbildningar; cobweb-diagram; periodiska fönster; Liapunov-exponenter; renormalisering (Strogatz 10.1-10.7).

Undervisning

Föreläsningar, räkneövningar och datalaborationer.

Examination

Obligatoriska inlämningsuppgifter (2,5 hp). Skriftlig och eventuellt även muntlig tentamen i slutet av kursen (2,5 hp).