Behörighetskrav

60 hp inom teknik/naturvetenskap inklusive Algebra I, Linjär algebra II. Kursen Algebra II rekommenderas.

Mål

För godkänt betyg på kursen skall studenten kunna

• redogöra för centrala begrepp och definitioner för grupper, ringar och kroppar;
• exemplifiera och tolka viktiga begrepp i konkreta situationer;
• formulera viktigare resultat och satser inom kursens område;
• beskriva huvuddragen i viktigare satsers bevis;
• översätta problem från relevanta tillämpningsområden till för matematisk behandling lämplig form;
• använda kursens teori, metoder och tekniker för att lösa problem om grupper, ringar och kroppar;
• presentera matematiska resonemang för andra.

Innehåll

Begreppet grupp. Isomorfi och homomorfi. Undergrupper och restklasser. Ordning av ett gruppelement, cykliska grupper. Normala undergrupper, kvotgrupper. Gruppaktion på en mängd,

bana, stabilisator, konjugation. Lösbara grupper och Sylowsatser. Abelska grupper. Klassifikation av ändligt genererade abelska grupper.

Begreppet ring. Isomorfi och homomorfi. Underring, ideal och kvotring. Inverterbara element, maximala ideal. Konstruktioner av icke-kommutativa ringar: matrisringar över godtyckliga ringar, ringar av operatorer, underringar av sådana ringar, kvaternionringen. Irreducibla element, primelement, primideal och huvudideal i en kommutativ ring. Euklidiska ringar. Entydig faktorisering i Euklidiska ringar. Faktoriella ringar: största gemensamma delare och minsta gemensamma multipel, Gauss sats. Irreducibilitetskriterier för polynom över faktoriella ringar: Gauss lemma, Eisensteins kriterium.

Begreppet kropp. Automorfigruppen. Ändliga kroppar. Kroppsutvidgningar. Algebraiska och transcendenta utvidgningar. Separabla och normala utvidgningar. Galoisgruppen. Galoisteorins fundamentalsats. Lösbarhet av algebraiska ekvationer. Formler för tredje- och fjärdegradsekvationer. Geometriska konstruktionsproblem.

Undervisning

Föreläsningar och räkneövningar.

Examination

Skriftligt och eventuellt muntligt prov vid kursens slut eventuellt kombinerat med inlämningsuppgifter under kursen enligt anvisningar som lämnas vid kursens start.