Behörighetskrav

120 hp matematik inklusive Komplex analys och Reell analys.

Mål

Efter godkänd kurs ska studenten kunna

• redogöra för de grundläggande egenskaperna hos holomorfa och meromorfa funktioner samt harmoniska funktioner samt använda dessa i problemlösning;
• redogöra för begreppet normal familj;
• redogöra för begreppen analytisk fortsättning och monodromi, samt använda dessa i konkreta situationer;
• redogöra för begreppen komplex mångfald och Riemannyta;
• konstruera Riemannytor till flervärda funktioner;
• redogöra för konstruktionen av en modulär funktion;
• tillämpa centrala satser, såsom Riemanns avbildningssats och Picards lilla sats i relevanta sammanhang.

Innehåll

Rummet av holomorfa funktioner. Meromorfa funktioner. Hurwitz sats. Weierstrass faktoriseringssats. Mittag-Lefflers sats för meromorfa funktioner. Det komplexa projektiva rummet. Implicita funktionssatsen. Oändliga serier och produkter. Partialbråksutveckling och faktorisering av analytiska funktioner. Gammafunktionen. Riemanns zetafunktion. Normala familjer. Den lokala geometrin av holomorfa funktioner. Automorfismer. Riemanns avbildningssats. Harmoniska funktioner. Poissons formel och Dirichlets problem. Jensens formel. Subharmoniska funktioner. Nollställesfördelning för hela funktioner. Analytisk fortsättning. Monodromisatsen. Komplexa mångfalder och Riemannytor. Modulära funktionen och Picards lilla sats.

Undervisning

Föreläsningar och räkneövningar.

Examination

Skriftliga inlämningsuppgifter under kursens gång