Han vill lösa ett av världens viktigaste matematiska problem
De kan beskriva rörelse i vätskor och gaser och har massor av användnings-områden. Trots det finns det ingen som till fullo förstår Navier-Stokes-ekvationerna. Stora delar av deras natur är fortfarande ett mysterium. Det vill Uppsalamatematikern Denis Gaidashev ändra på.
När Clay Mathematics Institute listade de viktigaste matematiska problemen inför detta millennium var Navier-Stokes-ekvationerna med på listan. Ekvationerna dök upp redan på artonhundratalet och har sedan dess använts inom en mängd fält som involverar rörelse i gaser och vätskor. Biomedicinska forskare använder dem till exempel för att beskriva blodflöde, meteorologer modellerar väder med dem och ingenjörer tar hjälp av dem för att förutse hur olja kommer att färdas genom rör. Ekvationssystemets tillämpningsområden är många. Ändå har ingen lyckats visa om det har allmänna lösningar.
Att ekvationer som inte är lösta matematiskt kan vara användbara vid olika tillämpningar är inte så märkligt som det låter. Det går nämligen att simulera lösningar i datorer, men bara upp till en viss gräns. Även om dessa avgränsade beräkningar kan vara tillräckliga för ett visst användningsområde säger de ingenting om hur ekvationerna ser ut överallt och vid alla tidpunkter. Den som vill förstå deras fullständiga beteende behöver ett rigoröst matematiskt bevis. Ett sådant har Denis Gaidashev bestämt sig för att försöka hitta.
Vad gör Navier-Stokes-ekvationerna så svåra att lösa?
– De har en term som inte är linjär. Problemet är att vi, givet ett begynnelsevillkor, inte vet om ekvationssystemet har en lösning för alla tider. Kan det hända att det finns någon tid där systemets lösningar blir obegränsade?
Översatt till fysik beskriver ekvationssystemet flödet i en vätska. Flödet beror på vätskans tryck och hastighet, som båda varierar över tid. Ett begynnelsevillkor är det tryck och den hastighet som vätskan har initialt, det vill säga där tiden är lika med noll. Vad vi ännu inte vet är om flödet alltid kommer att vara smidigt eller om det vid någon tidpunkt kommer att explodera. Finns det en begynnelsehastighet för vilken energin vid någon tidpunkt blir obegränsad?
Denis berättar att flera matematiker har försökt att lösa problemet men ingen har kommit hela vägen fram till svaret. Ofta har försöken lett till beräkningar som är så pass komplicerade att de inte har gått att lösa. Bland dessa försök har ett särskilt fångat Denis intresse.
– En av de mest framstående matematikerna just nu, Yakov Sinai, föreslog ett nytt sätt att försöka lösa problemet, via något som kallas renormalisering. Det fungerar så att man inför en operator som kopplar lösningar för en senare tid med en lösning för en tidigare tid. Sinai och hans samarbetspartners lyckades inte lösa problemet analytiskt, det blev igen väldigt svårt. Men vad vi föreslår är att försöka göra det med hjälp av datorer, datorbevis, som vi gör i vår forskargrupp CAPA.
Betyder det att den delen som datorn gör skulle vara omöjlig för en människa att beräkna?
– Precis. Vissa beräkningar kan ta mycket tid eller är omöjliga för en människa att göra. Men idag finns det tekniker för hur man kan programmera ett bevis på en dator. Vi planerar att implementera ett renormaliseringsschema i datorn och få den att utföra de svåra beräkningarna åt oss.
Hur lång tid kan det ta?
– Kanske två till fyra år.
Tack vare en ny satsning på svensk matematisk forskning har Denis fått medel att anställa en postdoktor som ska hjälpa honom att angripa problemet. Än så länge har han ingen särskild person i åtanke, men det måste vara någon som kan förstå både renormalisering och datorbevis.
Denis Gaidashev och den nya postdoktorn ska inleda arbetet med att göra en sorts experiment med numeriska simuleringar. Om dessa ger resultat kommer det att vara en indikation på att problemet går att lösa på det sätt som han har tänkt sig.
– Det kommer att vara simuleringar inom ramverket av tekniker som Yakov Sinai och hans samarbetspartners har föreslagit. Vi kommer inte bara att ta systemet av ekvationer och sätta det i datorn och se vad det ger. I stället måste vi programmera renormaliseringsoperatorerna och implementera hela tekniken.
Varför valde du just det här problemet?
– Kanske eftersom jag har erfarenhet inom renormalisering och datorbevis. Och jag tyckte att vi och vår grupp, CAPA, är i en ganska privilegierad position att försöka lösa problemet på det sättet. Det finns inte många specialister i världen som har kunskaper i båda teknikerna, men vi har det.
Vad kan det betyda för matematiken om problemet blir löst?
– Först skulle jag vilja säga att det är ganska optimistiskt att säga att vi ska lösa det. Men om vi gör det förväntar jag mig att några hellre vill se ett analytiskt bevis och inte tycker att ett datorbevis säger så mycket om den matematiska strukturen. Å andra sidan, bara att besvara frågan om det finns begynnelsevillkor för vilka energin blir obegränsad i ändlig tid skulle vara en framgång.
Denis Gaidashev tror att svaret på den frågan är ja. Vad det kommer att innebära för andra discipliner om han visar har rätt är svårt att förutspå. Kanske får vi se om några år.
Alma Kirlic
2016-04-26
Denis Gaidashev (foto: privat)