Räkna med avstånd i matematiken

Bilden visar hur slumpvandringar konvergerar i en riktning när tiden tillåts gå mot oändligheten, ett resultat Anders Karlsson och hans forskarkollegor har fått fram genom att använda metriska metoder

Det finns gott om exempel på linjära samband både inom vetenskapen och i vardagen. Om man till exempel vill uppskatta vilken effekt en mindre prisförändring har för försäljningen kan man ställa upp ett linjärt samband: en ökning i pris ger en proportionell minskning i försäljning.

– Även om verkligheten är mer komplicerad så kan man ofta med fördel använda sig av linjära ekvationer för en första uppskattning, säger Anders Karlsson, professor vid matematiska institutionen vid Uppsala universitet.

Men linjära samband räcker inte för att förklara eller beskriva alla fenomen. En nyare trend inom teoretisk datavetenskap är att betrakta avstånd mellan datapunkter (en metrik) istället för att se dem som vektorer i linjära rum. Om man till exempel har en karta över Sverige med alla städer markerade så utgör avståndet mellan städerna en metrik.

Skillnad på olika ord

Ett annat exempel på när metriker är användbara är när en datoralgoritm ska lära sig se skillnad på olika ord. Skillnaden mellan ”padda” och ”paddel” kan även den beskrivas med ett avstånd. Man brukar tala om editavstånd, det vill säga hur många bokstäver som måste ändras för att komma från det ena ordet till det andra.

I den nya studien visar Anders Karlsson att det går att förena de här båda synsätten. Han lägger fram argument för att metriker genomsyrar delar av matematiken mer allmänt. 

– Det är lite förvånande att det kan vara så användbart. Min forskning visar att det kan vara en fördel att glömma bort de linjära sambanden och istället fokusera på avstånd och distansförhållanden, säger Anders Karlsson.

I artikeln ges flera exempel på klassiska matematiska argument där det går att använda en metrik, ibland istället för linjära samband. Det är välkända resultat som Denjoy-Wolff sats inom komplex analys, von Neumanns ergodsats inom dynamiska system, och Thurstons spektralsats inom tvådimensionell geometri som kan härledas från en och samma metriska princip.

Slumpvandringar har en riktning

Metriken är också användbar i studiet av slumpvandringar, det vill säga när man befinner sig på en punkt och sedan går åt något slumpmässigt håll och sedan upprepat tar flera sådana slumpsteg.

En form av slumpvandring är när du väljer en slumpmässig länk på internet och kommer vidare till en webbsida där du väljer en ny slumpmässig länk. Ett annat exempel är det som sker när man släpper ner en färgdroppe i ett vattenglas. Först uppstår ett mönster och sedan får allt vatten samma färg.

– Det som kommer fram i våra arbeten är att om slumpvandringen driver utåt kommer det alltid att finnas en viss riktning som den konvergerar mot, säger Anders Karlsson.

Studie av djupa neurala nätverk

Det här kan ha betydelse inom AI och maskininlärning, där man ska träna datorn i att höra skillnad på olika talade ord eller identifiera objekt i bilder. Under inlärningsprocessen används ofta slumpen som hjälpmedel och detta kan ibland ses som en form av slumpvandring.

Tillsammans med kollegan Benny Avelin, biträdande universitetslektor vid matematiska institutionen, arbetar Anders Karlsson med en studie av djupa neurala nätverk.

– Vi har kunnat tillämpa samma metriska resultat och på det sättet bidragit till den teoretiska förståelsen, till exempel för slumpmässig initialisering av nätverket. Det är allmänt observerat att “deep learning” fungerar mirakulöst bra i praktiken men den teoretiska förståelsen för varför ligger långt efter, säger Anders Karlsson.

Han ser även andra områden där de nya forskningsresultaten kan bli relevanta.

– Det ligger i matematikens abstrakta natur att samma metoder är tillämpbara på helt skilda problem. Till exempel kan det beskrivna slumpvandringsfenomenet vara applicerbart i studiet av ekvationer som modellerar jordens klimat.