Behörighetskrav

120 hp med Fysikens matematiska metoder. Symmetri och gruppteori eller Algebraiska strukturer ska vara genomgången. Engelska 6 (Med en svensk kandidatexamen uppfylls kravet på engelska).

Mål

Efter godkänd kurs skall studenten kunna: 

• definiera och ge flera enkla exempel av mångfalder;
• utföra grundläggande beräkningar som involverar differentiella former, externa derivator; definiera integration av differentialformer, formulera och använda Stokes sats;
•  definiera Riemannmångfalder, komplexa mångfalder, och symplektiskta mångfalder;
•  härleda grundläggande egenskaper och ge enkla konkreta exempel på förbindelse och krökning på Riemannmångfalder;
• definiera Lie-grupper både abstrakt och konkret, arbeta med matrisgrupper, förklara begrepp som vänsterinvarianta vektorfält och ett-former;
• definiera abstrakt och konkreta Lie-algebror, ge enkla exempel på matris-Lie-algebror, ge exempel på Lie-algebror av vektorfält, särskilt Hamiltonska vektorfält;
• förklara grundläggande begrepp för abstrakt Lie-algebra-teori, såsom rötter och vikter, och konstruera Lie-algebror med hjälp av Cartan-matris, ange klassificeringssatsen för enkla Lie-algebror över komplexa fält;
• använda grundläggande egenskaper för representationsteorin för några exempel på matris Lie-algebror, framför allt utföra tensorprodukt och dekomponeringen av representationer och tillämpa dem för att förklara vissa fenomen inom hadronfysik.

Innehåll

Grundläggande topologi, topologiska rum, koordinatkartor, övergångsfunktioner. Vektorfält, differentialformer. Integration av differentialformer, Stokes sats. Komplexa strukturer, symplektiska strukturer, metrik, förbindelse och krökning på Riemannska mångfalder. Tillämpning av symplektisk geometri i Hamiltonsk mekanik. Tillämpning av differentialgeometri i allmän relativitetsteori. Abstrakta Lie-grupper, matris-Lie-grupper, vänster- och höger-invarianta vektorfält och kovarianta vektorer. Abstrakta Lie-algebror och matrix Lie-algebror, exponentiering. Rötter, vikter, klassificering av enkla Lie-algebror. Representationer med högst vikt. Enhetsrepresentationer av SU(2), SO(3), SU(n), SO(n) och deras tillämpningar inom fysik.

Undervisning

Föreläsningar, lektioner.

Examination

Inlämningsuppgifter och muntlig examination.

Om särskilda skäl finns får examinator göra undantag från det angivna examinationssättet och medge att en enskild student examineras på annat sätt. Särskilda skäl kan t.ex. vara besked om särskilt pedagogiskt stöd från universitetets samordnare för studenter med funktionsnedsättning.