Behörighetskrav

5 hp matematik. Analys i en variabel genomgången. Linjär algebra I eller Algebra och geometri genomgången.

Mål

Efter godkänd kurs ska studenten kunna:

• definiera, identifiera, förklara och exemplifiera de grundläggande begreppen i differential- och integralkalkyl i flera variabler;
• redogöra för hur begreppen i föregående punkt teoretiskt hänger samman;
• formulera grundläggande satser i kursen och bevisa enklare påståenden;
• matematiskt beskriva och analysera kurvor och ytor i låga dimensioner;
• beräkna derivator och integraler av funktioner och vektorfält;
• analysera och lösa system av ODE:er och vissa enklare PDE:e;
• tillämpa kunskapen i ovanstående punkter vid lösning av konkreta räkneuppgifter och av elementära abstrakta och teoretiska problem;
• muntligt och skriftligt presentera matematiska resonemang för andra.

Innehåll

Topologi i flera dimensioner: öppna, slutna och kompakta mängder. Polära, cylindriska och sfäriska koordinater. Parameterframställning av kurvor och ytor. Båglängd. Skalära och vektorvärda funktioner av flera variabler. Nivåmängder och grafer. Kontinuitet, partiella derivator, deriverbarhet och linjarisering, gradient, riktningsderivata, differential. Derivatan som en linjär avbildning. Jacobianen. Derivator av högre ordning. Kedjeregeln. Taylors formel. Implicita funktionssatsen i allmän dimension. Optimeringsproblem: lokala och globala problem, problem med bivillkor i form av likheter, gradientflödesmetoden. Multipelintegralens definition. Itererad integration, variabelbyte. Generaliserade integraler. Tillämpningar av integraler till exempel beräkning av volym och tyngdpunkt. Kurv- och ytintegraler av skalära och vektorvärda funktioner. Vektorfält. Tvådimensionella system av ordinära differentialekvationer och linjarisering i jämviktspunkter. Divergens och rotation av vektorfält. Identiteter för grad, div och rot. Greens, Stokes och Gauss satser. Introduktion till partiella differentialekvationer och randvärden. Laplace-, värmelednings- och vågekvationen. Harmoniska funktioner.

Exempel från relevanta tillämpningsområden, t.ex. elektromagnetism, termodynamik och flödesmekanik.

Undervisning

Föreläsningar, lektioner och räkneövningar. Redovisningsuppgifter.

Examination

Skriftligt prov vid kursens slut (8 hp). Skriftliga redovisningsuppgifter (2 hp).

Om särskilda skäl finns får examinator göra undantag från det angivna examinationssättet och medge att en enskild student examineras på annat sätt. Särskilda skäl kan t.ex. vara besked om särskilt pedagogiskt stöd från universitetets samordnare för studenter med funktionsnedsättning.

Övriga föreskrifter

Kursen kan inte ingå i samma examen som någon av kurserna 1MA183 Flervariabelanalys M, 1MA017 Flervariabelanalys allmän kurs, 1MA016 Flervariabelanalys, 1MA188 Geometri och analys II, 1MA212 Geometri och analys III.