Partiella differentialekvationer, fortsättningskurs
Kursplan, Avancerad nivå, 1MA054
Kursen är avvecklad.
- Kod
- 1MA054
- Utbildningsnivå
- Avancerad nivå
- Huvudområde(n) med fördjupning
- Matematik A1F
- Betygsskala
- Med beröm godkänd (5), Icke utan beröm godkänd (4), Godkänd (3), Underkänd (U)
- Fastställd av
- Teknisk-naturvetenskapliga fakultetsnämnden, 31 maj 2013
- Ansvarig institution
- Matematiska institutionen
Behörighetskrav
120 högskolepoäng inklusive Partiella differentialekvationer, introduktionskurs, och Funktionalanalys I
Mål
Kursen avser att vidareutveckla teorin för hyperboliska, paraboliska och elliptiska partiella differentialekvationer i anslutning till fysikaliska, tekniska och naturvetenskapliga problem. Huvudteman är välställdhet för olika begynnelse- och randvärdesproblem samt egenskaper hos lösningar till vågekvationen, värmeledningsekvationen och Laplace-ekvationen. Funktionalanalys används för att visa existens av svaga lösningar samt för att studera regularitet hos lösningar. Viktiga tillämpningsområden är numerisk behandling av partiella differentialekvationer, optimeringsteori, reglerteknik, signalbehandling, bildanalys, mekanik och hållfasthetslära samt kvantmekanik.
För godkänt betyg på kursen skall studenten
- kunna använda geometriska metoder;
- kunna använda Kirchhoffs lösning och Huygens princip för vågekvationen i en och flera rumsvariabler;
- känna till och kunna använda fundamentallösningar och Greensfunktioner för olika typer av ekvationer;
- känna till Perron–Wieners metod;
- kunna använda maximumprincipen för elliptiska PDE;
- känna till distributioner, Sobolevrum och inbäddningssatser;
- känna till variationsformuleringer av elliptiska problem och existenssatser för generella problem; Lax–Milgrams sats, energiuppskattningar, Fredholmalternativ, Poincarés olikhet, feluppskattningar (FEM);
- känna till existenssatser för generella paraboliska och hyperboliska PDE:er och relaterade numeriska lösningsmetoder såsom Galerkins metod;
- ha genomfört ett mindre projekt inom något tillämpningsområde (t.ex. som förberedelse för kommande examensarbete).
Innehåll
Karakteristikor. Symboler för partiella differentialoperatorer. Maximumprincipen. Sobolevrum. Linjära elliptiska ekvationer. Energimetoder för Cauchyproblem för paraboliska och hyperboliska ekvationer. Fredholmteori och egenfunktionsutvecklingar. Potentialteori.
Undervisning
Föreläsningar och räkneövningar.
Examination
Skriftligt prov vid kursens slut kombinerat med inlämningsuppgifter under kursen enligt anvisningar som lämnas vid kursens start.