Behörighetskrav

Matematik C från gymnasiet.

Mål

För godkänt betyg på kursen skall studenten

• vara bekant med och kunna använda de mest grundläggande mängdteoretiska begreppen och beteckningarna.
• kunna beskriva principerna för Peanos axiomatiska system för de positiva heltalen samt kunna tillämpa det femte axiomet - induktionsaxiomet - för att bevisa enklare utsagor.
• kunna redogöra för huvuddragen i uppbyggnaden av talsystemet från de positiva heltalen (inklusive användandet av olika baser) till oktonionerna, samt kunna utföra enkla operationer med komplexa tal och kvarternioner.
• känna till vissa speciella, historiskt intressanta, typer av heltal (t.ex. figurativa tal, primtal och perfekta tal) samt kunna bevisa viktiga satser rörande dessa.
• känna till och kunna tillämpa kongruensräkning.
• vara orienterade om historiken kring Fermats sista sats.
• känna till och kunna tillämpa begrepp som uppräknelighet och överuppräknelighet samt vara orienterad om de viktigaste räknereglerna för transfinita tal.
• kunna lösa talteoretiska problem med användning av genomgångna metoder.
• känna till och kunna tillämpa grundläggande kombinatoriska begrepp som Dirichlets lådprincip, multiplikationsprincipen, permutationer och kombinationer, binomialkoefficienter och sållprincipen.
• känna till grunderna för den euklidiska geometrin med dess axiomatiska struktur, samt kunna bevisen för vissa centrala satser som randvinkelsatsen och Pythagoras sats.
• känna till och kunna utföra grundläggande geometriska konstruktioner med passare och linjal samt känna till de klassiska omöjlighetsresultaten.
• känna till Eulers polyedersats och hur den kan användas för att undersöka antalet platonska kroppar.

Innehåll

• Grundläggande mängdlära.
• Talsystemets uppbyggnad från positiva heltal till oktonioner.
• Grunderna för talteorin: figurativa tal, perfekta tal, delbarhet och primtal.
• Orientering om transfinita (oändligt stora) tal och räkning med dessa.
• Talteoretisk problemlösning inklusive kongruensräkning.
• Kombinatorikens grundbegrepp: multiplikationsprincipen, permutationer och kombinationer, binomialsatsen.
• Den euklidiska geometrins axiomatiska uppbyggnad.
• Geometriska konstruktioner med passare och linjal.
• Eulers polyedersats. De platonska kropparna.

Undervisning

Undervisningen sker i form av föreläsningar, lektioner och övningar.

Examination

Ett PM på ett historiskt tema (3 poäng ) samt slutprov ( 4.5 poäng ).