Partiella differentialekvationer, introduktionskurs
Kursplan, Avancerad nivå, 1MA053
- Kod
- 1MA053
- Utbildningsnivå
- Avancerad nivå
- Huvudområde(n) med fördjupning
- Matematik A1N
- Betygsskala
- Underkänd (U), godkänd (3), icke utan beröm godkänd (4), med beröm godkänd (5)
- Fastställd av
- Teknisk-naturvetenskapliga fakultetsnämnden, 6 maj 2013
- Ansvarig institution
- Matematiska institutionen
Behörighetskrav
120 hp varav 60 hp matematik, inklusive Flervariabelanalys, Linjär algebra II och Transformmetoder.
Mål
Efter godkänd kurs ska studenten kunna
- beskriva de vanligaste partiella differentialekvationerna som uppträder då man studerar problem rörande t.ex. värmeledning, strömning, elasticitet och vågutbredning;
- redogöra för grundläggande frågor rörande existens och entydighet av lösningar, och kontinuerligt beroende av begynnelse- och randvärden;
- lösa enklare första ordningen ekvationer genom metoden med karakteristikor;
- klassificera andra ordningens ekvationer;
- lösa enklare begynnelse- och randvärdesproblem genom att använda exempelvis d'Alemberts lösningsformel, variabelseparation och utveckling i Fourierserier eller andra ortogonalsystem;
- i matematisk form beskriva, beräkna och analysera vågutbredning och värmeledning;
- formulera maximumprinciper för olika ekvationer och härleda konsekvenser.
Innehåll
Introduktion av några vanligt förekommande partiella differentialekvationer, fysikalisk bakgrund och härledning utifrån fysikaliska principer.
Första ordningens partiella differentialekvationer: karakteristikor, linjära, kvasilinjära och allmänna olinjära ekvationer.
Klassificering av andra ordningens partiella differentialekvationer i två variabler.
Endimensionella vågekvationen, Cauchys problem, d'Alemberts formel, icke-homogena vågekvationen.
Separation av variabler, värmelednings- och vågekvationen. Energimetoden, entydighet.
Sturm-Liouvilleproblem och egenfunktionsutveckling.
Elliptiska ekvationer. Dirichlets problem, harmoniska funktioner, maximumprincipen. Poissons formel.
Greenfunktioner och integralrepresentation. Värmeledningskärnan.
Partiella differentialekvationer i högre dimensioner.
Undervisning
Föreläsningar och räkneövningar.
Examination
Skriftligt prov vid kursens slut kombinerat med inlämningsuppgifter under kursen enligt anvisningar som lämnas vid kursens start.
Litteraturlista
- Litteraturlista giltig från och med höstterminen 2022
- Litteraturlista giltig från och med vårterminen 2022
- Litteraturlista giltig från och med vårterminen 2019
- Litteraturlista giltig från och med vårterminen 2013
- Litteraturlista giltig från och med höstterminen 2011
- Litteraturlista giltig från och med höstterminen 2010
- Litteraturlista giltig från och med vårterminen 2010, version 2
- Litteraturlista giltig från och med vårterminen 2010, version 1
- Litteraturlista giltig från och med vårterminen 2009
- Litteraturlista giltig från och med höstterminen 2008
- Litteraturlista giltig från och med höstterminen 2007