Behörighetskrav

120 hp inklusive Algebraiska strukturer

Mål

Efter godkänd kurs ska studenten kunna

• definiera den algebraiska talteorins centrala begrepp och redogöra för deras inbördes samband;
• beräkna de centrala talteoretiska storheter som införs i kursen;
• återge kursens viktigaste satser och tillämpa dem i konkreta fall;
• i detalj redogöra för viktiga delar av kursens teori, såsom exempelvis härledningen av fyrkvadratssatsen från Minkowskis sats och Kummers bevis av Fermats stora sats för reguljärt prima exponenter;
• förklara vad som menas med "talens geometri" enligt Minkowski.

Innehåll

Heltal i kommutativa ringutvidgningar. Dedekindringar, deras idealteori och idealklassgrupp. Fundamentalsatsen för Dedekindringar. Kvadratiska talkroppar. Cyklotomiska kroppar och cyklotomiska heltal. Reguljära och irreguljära primtal. Kummers lemma. Kummers bevis av Fermats stora sats för reguljärt prima exponenter. Norm och spår av ett algebraiskt tal. Förgreningsindex och restklassgrad av ett primideal med avseende på en algebraisk kroppsutvidgning. Diskriminanten av en algebraisk talkropp. Gitter i Rⁿ och deras kvottorus. Minkowskis gitterpunktssats. Fyrkvadratssatsen. Minkowskis gräns.

Undervisning

Föreläsningar.

Examination

Skriftligt prov vid kursens slut och inlämningsuppgifter under kursens gång.