Behörighetskrav

Algebra II eller Diskret matematik

Mål

Efter godkänd kurs ska studenten kunna

• beräkna största gemensamma delaren med hjälp av Euklides algoritm;
• redogöra för beviset av aritmetikens fundamentalsats;
• lösa linjära diofantiska ekvationer;
• lösa linjära kongruenser;
• redogöra för polynomiala kongruenser med hjälp av kinesiska restsatsen och Hensels lemma;
• redogöra för Möbius inversionsformel;
• redogöra för parametriseringen av primitiva pythagoreiska tripplar;
• avgöra om ett givet tal är en summa av två eller tre kvadrater;
• avgöra om ett givet tal är en kvadratisk rest mod p;
• beräkna kedjebråksutvecklingen till ett kvadratiskt irrationellt tal;
• bestämma värdet till ett periodiskt kedjebråk;
• beräkna fundamentallösningen till Pells ekvation.

Innehåll

Delbarhet: Ideal i heltalsringen, Euklides algoritm, aritmetikens fundamentalsats. Linjära diofantiska ekvationer, enhetsgrupper i kvoter av heltalsringen, kinesiska restsatsen, Hensels lemma. Cykliska enhetsgrupper och primitiva rötter, ordning. Kvadratiska rester och kvadratisk reciprocitet. Aritmetiska funktioner och Möbius inversionsformel. Summor av kvadrater, pythagoreiska tripplar. Kedjebråk, rationell approximation. Pells ekvation.

Undervisning

Föreläsningar och räkneövningar.

Examination

Skriftligt och eventuellt muntligt prov vid kursens slut, eventuellt kombinerat med inlämningsuppgifter under kursen enligt anvisningar som lämnas vid kursens start.