Komplex analys

10 hp

Kursplan, Grundnivå, 1MA022

Det finns en senare version av kursplanen.

Kod: 1MA022
Utbildningsnivå: Grundnivå
Huvudområde(n) med fördjupning: Matematik G2F
Betygsskala: Underkänd (U), godkänd (3), icke utan beröm godkänd (4), med beröm godkänd (5)
Fastställd av: Teknisk-naturvetenskapliga fakultetsnämnden, 12 december 2011
Ansvarig institution: Matematiska institutionen

Behörighetskrav

60 hp matematik inklusive Flervariabelanalys alternativt 40 hp fysik och 40 hp matematik inklusive Flervariabelanalys eller Geometri och analys III.

Mål

För godkänt betyg på kursen skall studenten

kunna redogöra för begreppen analytisk funktion och harmonisk funktion samt för betydelsen av Cauchy–Riemanns ekvationer;

kunna redogöra för begreppet konform avbildning och dess samband med analytiska funktioner, samt känna till de elementära funktionernas avbildningsegenskaper;

kunna redogöra för Möbiusavbildningar och deras avbildningsegenskaper samt kunna använda dem för konforma avbildningar;

känna till definitionen av och kunna beräkna komplexa konturintegraler;

känna till och kunna använda Cauchys integralsats och integralformler samt några av dessas konsekvenser;

kunna analysera enkla funktionsföljder och funktionsserier med avseende på likformig konvergens, kunna redogöra för potensseriers konvergensegenskaper samt kunna utveckla analytiska funktioner i Taylor- eller Laurentserier i ett givet område;

känna till grundläggande egenskaper hos analytiska funktioners singulariteter, kunna bestämma nollställen och polers ordning samt beräkna residuer och använda residueteknik för beräkning av integraler;

kunna bestämma antalet rötter till enkla ekvationer i ett givet område;

kunna formulera viktigare resultat och satser inom kursens område och kunna beskriva huvuddragen i viktigare satsers bevis;

kunna använda kursens teori, metoder och tekniker för att lösa matematiska problem;

kunna presentera matematiska resonemang för andra.

Innehåll

Komplexa tal, topologi i C. Funktioner av en komplex variabel, gränsvärde, kontinuitet och deriverbarhet. Cauchy-Riemanns ekvationer med konsekvenser. Analytiska och harmoniska funktioner. Konform avbildning. Elementära funktioner från C till C och avbildningsegenskaper, speciellt Möbiusavbildningar och exponentialfunktionen. Lösning av randvärdesproblem i planet för Laplaces ekvation med hjälp av konforma avbildningar. Komplex integration, Cauchys integralsats och integralformel med konsekvenser. Maximumprincipen för analytiska och harmoniska funktioner. Konjugerat harmoniska funktioner. Poissons integralformel. Likformig konvergens och analyticitet. Potensserier. Taylor- och Laurentserier med tillämpningar. Nollställen och isolerade singulariteter. Residukalkyl med tillämpningar. Argumentprincipen och Rouchés sats. Orientering om sammanhang med Fourierserier och Fourierintegraler.

Undervisning

Föreläsningar och räkneövningar.

Examination

Skriftligt och eventuellt muntligt prov vid kursens slut eventuellt kombinerat med inlämningsuppgifter under kursen enligt anvisningar som lämnas vid kursens start.

Övriga föreskrifter

Kursen kan inte tillgodoräknas i examen tillsammans med kursen Komplex analys, allmän kurs.