Behörighetskrav

120 högskolepoäng varav minst 60 högskolepoäng i matematik och med kurserna Flervariabelanalys, Linjär algebra II och Transformmetoder eller motsvarande

Mål

Efter godkänd kurs ska studenten kunna

• beskriva de vanligaste partiella differentialekvationerna som uppträder då man studerar problem rörande t.ex. värmeledning, strömning, elasticitet och vågutbredning;
• redogöra för grundläggande frågor rörande existens och entydighet av lösningar, och kontinuerligt beroende av begynnelse- och randvärden;
• lösa enklare första ordningen ekvationer genom metoden med karakteristikor;
• klassificera andra ordningens ekvationer;
• lösa enklare begynnelse- och randvärdesproblem genom att använda exempelvis d'Alemberts lösningsformel, variabelseparation och utveckling i Fourierserier eller andra ortogonalsystem;
• i matematisk form beskriva, beräkna och analysera vågutbredning och värmeledning;
• formulera maximumprinciper för olika ekvationer och härleda konsekvenser.

Innehåll

Introduktion av några vanligt förekommande partiella differentialekvationer, fysikalisk bakgrund och härledning utifrån fysikaliska principer.

Första ordningens partiella differentialekvationer: karakteristikor, linjära, kvasilinjära och allmänna olinjära ekvationer.

Klassificering av andra ordningens partiella differentialekvationer i två variabler.

Endimensionella vågekvationen, Cauchys problem, d'Alemberts formel, icke-homogena vågekvationen.

Separation av variabler, värmelednings- och vågekvationen. Energimetoden, entydighet.

Sturm-Liouvilleproblem och egenfunktionsutveckling.

Elliptiska ekvationer. Dirichlets problem, harmoniska funktioner, maximumprincipen. Poissons formel.

Greenfunktioner och integralrepresentation. Värmeledningskärnan.

Partiella differentialekvationer i högre dimensioner.

Undervisning

Föreläsningar och räkneövningar.

Examination

Skriftligt och eventuellt muntligt prov vid kursens slut eventuellt kombinerat med inlämningsuppgifter under kursen enligt anvisningar som lämnas vid kursens start.